Будем освещать решетку плоским монохроматическим лучом света с длиной волны λ.
α- угол падения луча относительно нормали подложки,
β-направлене наблюдения интерференции,
a- постоянная решетки.

Определим разность хода двух лучей света, дифрагирующих на отражающей поверхности.

Максимумы интерференции будут наблюдаться, если

(к- положительное или отрицательное целое число). Формула

позволяет определить все возможные значения углов β, в направлении которых наблюдаются максимумы интерференции для данной длины волны λ.

Sin α+sin β=kλ/a

является уравнением дифракционной решетки. Оно может быть записано в виде

Sin α+sin β=knλ,

где n=1/а есть количество линий на единицу длины.

Для каждого возможного значения к мы получим спектр.
Для к=0 мы будем наблюдать в одном направлении излучение с любой длиной волны.
Если мы наблюдаем дифракцию в направлении освещения, т.е. α=β, говорят, что решетка используется в конфигурации Литтроу. В этом случае

2sinβ=kλ/a

Эффективность голографической дифракционной решетки.

Эффективность голографической решетки характеризуется двуми параметрами.
Абсолютная эффективность - это энергия, дифрагирующая с интересующий порядок на данной длине волны относительно энергии, падающей на решетку на данной длине волны.
Эффективность – это отношение энергии, дифрагирующей на данной длине волны в интересующий порядок, к энергии, отраженной зеркалом в тех же рабочих услоивях

Эффективность голографической дифракционной решетки зависит от формы и глубины штрихов. Технология позволяет получить штрихи следующей формы


Если λв является центром интересующего спектрального диапазона, максимальная эффективность дифракционной решетки зависит от параметра λ/а (необходимо заметить, что поскольку sin α+sin β=mλ/a этот параметр всегда меньше 2 )

С целью получения оптимальной эффективности в требуемом спектральном диапазоне форма штрихов выбирается в зависимости от параметра λ/2a. Эффективность решетки обычно составляет до 90%.


В случае 0,8 ≤ λ/а≤1,7 максимальная эффективность достигает 60%.

Если 0,2≤λ/а≤0,8 пик интенсивности голографических решеток в общем меньше, чем для нарезных, хотя кривая эффективности более ровная.


В случае λ/а≤0,2 (что характерно для дальней UV области) эффективность как голографических, так и нарезных решеток резко падает из-за высокой отражающей способности материала покрытия.

Свободный спектральный интервал

Для одних и тех же углов падения излучения α и наблюдения β дифракционной катрины некоторые длины волн могут накладываться. Такие длины волн удовлетворяют условию



σ называется волновым числом. σ=/k/σ₁ и


Излучение, которое перекрывается в направлении угла β имеет волновые числа, изменяющиеся в арифметической прогрессии σ₁, 2σ₁, 3σ₁.

Если мы хотим избежать наложения, необходимо, чтобы освещающее излучение состояло из колебаний, волновые числа которых укладываются в максимальный интервал δσ, называемый свободным спектральным интервалом.

Разрешение

Разрешение оптического инструмента показывает его способность разрешить соседние спектральные линии. В общем случае оно определяется как


где δλ- это расстояние между двумя спектральными линиями равной интенсивности, которые разрешаются.

Два пика считаются разрешенными, если расстояние между ними по крайней мере такое, что максимум одного попадает на первый минимум другого. Это называют критерием Релея.


Угловой размер дифракционного изображения d θ

Две длины волны разрешаются, если угловой размер d θ=dβ

Дифференцируя уравнение дифракции получим


где N – общее количество линий решетки.


Этой формулой нужно пользоваться очень осторожно. С целью увеличения разрешения можно предположить увеличение количества штрихов (сделать более тонкую дифракционную решетку), но нужно помнить, что, делая это, изменяется порядок решетки а и максимально допустимое значение к уменьшается.

Если фронт падающего излучения будет отличаться от плоского более чем на λ/4, угловой размер дифракционного изображения будет увеличиваться, и разрешение резко уменьшаться.

Разрешение также может быть определено путем измерения хорошо известных спектральных линий химических элементов.

Угловая дисперсия

Угловая дисперсия – это разделение по углу двух излучений, длины волн которых отличаются на δλ.


При использовании формул нужно помнить, что величины k и n не являются независимыми.
Для данной длины волны угловая дисперсия зависит только от рабочего угла.

Линейная дисперсия

Линейная дисперсия определяется обоюдным влиянием угловой дисперсии и эффективной фокальной длины. Она показывает количество нанометров, приходящихся на единицу спектра.
Необходимо заметить, что инструмент с линейной дисперсией 0,4 нм/мм лучше, чем с линейной дисперсией 0,6 нм/мм. Если число, измеряющее линейную дисперсию, уменьшается, линейная дисперсия возрастает.